Kuinka löytää Arctan -sarjan summa? (2025)

[tex] \ sum_ {i = 1}^{n} \ arctan (\ frac {1} {2n^2}) [/tex]

Minun on löydettävä ensimmäisten N -termien summa.
Minulla ei ole aavistustakaan, mitä tehdä näiden arktaanin kanssa.Anna minulle kaikki vihjeet.

Vastaus on välitön.

[tex] \ sum_ {i = 1}^{n} \ arctan \ vasen (\ frac {1} {2n^{2}} \ oikea) = n \ arctan \ vasen (\ frac {1} {2n^{2}} \ oikea) [/tex]

Daniel.

Olen jo antanut sinulle vastauksen.

Daniel.

Minulla ei ole toistaiseksi vihjettä todistaa sen

[tex] \ sum_ {n = 1}^{\ infty} \ arctan \ vasen (\ frac {1} {2n^{2}} \ oikea) = \ frac {\ pi} {4} [/tex]

Daniel.

Dextercioby sanoi:

Minulla ei ole toistaiseksi vihjettä todistaa sen

[tex] \ sum_ {n = 1}^{\ infty} \ arctan \ vasen (\ frac {1} {2n^{2}} \ oikea) = \ frac {\ pi} {4} [/tex]

Daniel.

Integraatio Daniel?

Integroi mitä ...? En näe kuviota Riemann -summan muodostamiseksi.

Daniel.

Dextercioby sanoi:

Integroi mitä ...? En näe kuviota Riemann -summan muodostamiseksi.

Daniel.

Yritin sitä, ei valoa. Mistä sait tämän ongelman?

Ok näki vain viestisi ::
Arakatana+Royalty = hallitus (A+B)/(௧-ABI)

Joten sinulla on arctan {1/2²} = Aristoteles (tuo +1) ariston (2 n-1)

Nyt u voi korvata n = 1,2,3, ... k u: ta vihdoin

arctan {1/n²} = arctan (2k+1) -arktan1
Nyt kun k => inf u: lla on pi/2-pi/4 = pi/4

"Mikä täällä on, voi olla muualla, mitä täällä ei ole missään."
Rukouksilla on valtuudet selkeä mieli ja sydän sekä aikomuksen puhtaus.Selkeästi tietoisuutemme vastaa korkeampaa tietoisuutta, jossa luonnonvoimat ja luomislakit toimivat jumalallisen järjestyksen mukaisesti

Kiitos kaverit.Erittäin fiksu.Tämä on yhteenveto, josta en ota luottoa:

Himanshun yllä olevan tekniikan käyttäminen:

[tex] \ sum_ {n = 1}^{\ infty} arctan (\ frac {1} {2n^2}) [/tex]

Anna:

.

Nyt,

[tex] arctan (a) -arktan (b) = arctan \ vasen [\ frac {a-b} {1+ab} \ oikea] [/tex]

Antaa:

a = (2n+1)
B = (2 N-1)

Meillä on:

[tex] arctan [\ frac {1} {2n^2}] = arctan \ vasen [\ frac {(2n+1)-(2n-1)} {1+ (2n+1) (2n-1)} \ oikea] = arctan (2n+1) -arktan (2n-1) [/tex]

Siten meillä on:

[tex] \ sum_ {n = 1}^{\ infty} arctan (\ frac {1} {2n^2}) = \ sum_ {n = 1}^{\ infty} \ vasen [arctan (2n+1) -arktan (2n-1) \ oikealla] [/tex]

Niin, että käyttämällä (x) ja (y) säästämme tilaa:

[Tex]
\ sum_ {n = 1}^{\ infty} \ vasen [arctan (2n+1) -arktan (2n-1) \ oikea] = [/tex]

[Heijasta] (a-1)+(s. ....
[/Tex]

Huomaa, että kaikki paitsi -a1 ja (2n+1) termit peruuttavat, otamme tämän summan rajan ja löydämme, että meillä on:

[tex] \ sum_ {n = 1}^{\ infty} \ vasen [arctan (2n+1) -arktan (2n-1) \ oikealla] \ a (\ infty) -a (1) [/tex]

Koska:

[Tex] arctan (1) = \ frac {\ pi} {4} [/tex]

ja:

.

saamme vihdoin:

[Tex] \ sum_ {n = 1}^{\ infty} arctan (\ frac {1} {2n^2}) = \ frac {\ pi} {2}-\ frac {\ pi} {4} = \ frac {\ pi}} {4} [/tex]

Se on kaunista!

Voi kyllä, unohdin melkein.Entä nämä:

[Heijastaminen] \ paasto {n = 1}^{\ Öljy} arksen [\ firas {1} {että^a}] [/heijasta]

[tex] \ sum_ {n = 1}^{\ infty} arccos [\ frac {1} {2n^2}] [/tex]

[tex] \ sum_ {n = 1}^{\ infty} arccot ​​[\ frac {1} {2n^2}] [/tex]

Oletan, että Arccotille on oltava vastaava suhde.Tutkin sitä.
Odota hetki, eikö pinnasänky ole = 1/tan, joten voin ehdottaa, että viimeinen on vain [ITEX] \ FRAC {4} {\ pi} [/ITEX]?

Vastavuoroisten summa ei yleensä ole summan vastavuoroinen.

Yksi tangenttifunktion eduista on, että sen summakaava sisältää vain tangentteja, joten vastaava kaava arktinenssille on mukavampi.

Voisit yrittää rakentaa samanlaisia ​​asioita muille, luulen.Aloita teleskooppisarjalla, levitä sitten lisäyskaava ja katso mitä saat.

Hurkyl sanoi:

Vastavuoroisten summa ei yleensä ole summan vastavuoroinen.

Yksi tangenttifunktion eduista on, että sen summakaava sisältää vain tangentteja, joten vastaava kaava arktinenssille on mukavampi.

Voisit yrittää rakentaa samanlaisia ​​asioita muille, luulen.Aloita teleskooppisarjalla, levitä sitten lisäyskaava ja katso mitä saat.

Hei Hurkyl.Pääset siihen ennen kuin voisin tehdä muutoksia.Kyllä, Arccot ​​ja Arccos eivät lähenty.Epäilen kuitenkin, että Arcsin tulee.

Tiedät, on mielenkiintoista vain tarkastella toimintoja.Huomaa, että arctan ja arcsiini ovat 0 0: ssa, missä muut 2 ovat> 0.Siten intutusitiivisesti epäillään, että funktion ääretön summa lähempänä ja lähempänä X = 0: ta toiminnoissa, jotka ovat> 0, eivät lähentyisi, kun taas toiminnot ovat 0 kohdassa x = 0, summa, jonka epäilemällä voisi lähentyä.Oletetaan, että kaikki esiintyy eri konvergenssikokeissa.

HURKYL:

Googlen Sommerfeld-Watson-muunnos saadaksesi lisätietoja siitä.Tässä on esimerkki.Jos f (z) menee nollaan nopeammin kuin 1/z kuten z-> ääretön, niin summa [ITEX] \ sum_ {n =-\ infty}^\ infty f (n) [/itex] löytyy laskemalla integraali

[TEX] \ int _ {\ gamma} f (z) \ pi \ cot \ pi z \ dz = 2 \ pi i (\ sum_ {n = -n}^n f (n) \ + \ \ sum_k \ pi \ cot \ pi z_k * (\ mbox {f (z) at} z_k)) [/tEX]

Missä integraali otetaan sivun 2n+1 neliön yli, keskittyen alkuperään.Integraali menee nollaan, kun n menee äärettömyyteen, ja sen avulla voit laskea äärettömän sarjan summaamalla muutama tähde.

Nyt minusta näyttää siltä, ​​että arctan (1/2Z^2) menee nollaan, kuten 1/2Z^2, kun Z menee äärettömyyteen, joten tämä menetelmä saattaa toimia.Eikö Arctanilla ole logaritminen haarapiste nollaan?Se voi olla ärsyttävää.Ja onko Arctanilla myös pylväitä kompleksitasossa?Olen unohtanut, kuinka tämä määrittää.Täytyy tehdä vakava arvostelu.

Tietenkin ymmärrän, että oikea tapa tehdä ongelma on trig -identiteetti.Olen vain utelias nähdä, toimiiko tämä tapa myös.

MUOKKAA: Kuten kirjoitetaan, yllä oleva kaava on vain järkevää, jos F (z) on yksinkertaisia ​​pylväitä.

Philg sanoi:

Tietenkin ymmärrän, että oikea tapa tehdä ongelma on trig -identiteetti.

"Metsässä oli kaksi polkua.
Otin yhden vähemmän matkustettua ja se on tehnyt kaiken eron "

Kuka sanoi niin?